Mümkün olan en büyük doğal sayı kaçtır? Doğal kelimesini kullanarak, tahmin oyununu baltalamak için basitçe sonsuza (∞) yanıt verme olasılığını eledim. Ancak sonsuz büyük değerlere izin versek bile, bu yanıt sorunlara yol açacaktır. Peki ya ∞ + 1, ∞2 veya ∞∞? İnsanlar bu cevapları en büyük doğal sayı sorusuna verseler kim haklı çıkar?
Cevap hiç kimse çünkü sonsuzluk, olağan hesaplama kurallarına uyan sıradan bir sayı değildir. Örneğin sayı doğrusu –∞, 0 veya 1’den başlarsa başlasın sonsuzdur. Bu nedenle ∞ + 1 gibi bir ifadenin hiçbir anlamı yoktur. Ayrıca, sonsuz değerlerde bile farklılıklar vardır: sonsuzluk her zaman sonsuza eşit değildir. Bu nedenle, sonsuzluk, en büyük sayı yarışmasında garantili bir kazanan olmayacaktır.
İnsanoğlunun bu fikri fark etmesi ve düzgün bir teoriye dönüştürmesi birkaç bin yılını aldı. 19. yüzyılın sonunda matematikçi Georg Cantor, nicelikleri ve büyüklüklerini düşünerek matematiksel sonsuzluk kavramının temelini attı. Örneğin, {1, 2, 3, 4} ve {x, y, z, q}, her ikisi de dört öğeden oluşur ve bu nedenle uzmanların “4’ün kardinalitesi” dediği 4 boyutuna sahiptir.
{0, 1, 2, 3,…} doğal sayıları ise sonsuz sayıda eleman içerir. Herhangi bir doğal sayıya 1 ekleyebiliriz; sonuç da bir doğal sayıdır. Şimdi tüm çift sayılar kümesine bakarsak {0, 2, 4,…}, bunun yarısı kadar büyük olduğunu varsayabiliriz – sonuçta, içinde yalnızca her ikinci doğal sayı bulunur. Ancak Cantor, her iki kümenin de (doğal ve çift sayılar) aynı kardinaliteye sahip olduğunu fark etti.
Eşleşen Kümeler ve Sayılabilir Sonsuzluklar
Başka bir köşe yazımda tartışıldığı gibi, Cantor iki kümenin öğelerini karşılaştırdığında bu şaşırtıcı sonuca ulaştı. Bir A kümesinin (örneğin, bir otobüs durağındaki insanlar) başka bir B kümesi (otobüsteki boş koltuklar) kadar büyük olup olmadığını öğrenmek istiyorsanız, A’daki her öğeye B’den bir öğe atayabilirsiniz. sonunda hala ayakta kalan insanlar varsa, o zaman A, B’den daha büyüktür. Öte yandan, hala boş koltuk varsa, o zaman B, A’dan daha büyük olmalıdır.
Ancak her kişiye tam olarak bir koltuk atayabilirseniz, o zaman her iki grup da tamamen aynı boyuttadır ve bu nedenle aynı kardinaliteye sahiptir. Bu şekilde Cantor, sonsuz kümelerin önem derecesini de inceledi. Örneğin, (0,0), (1,2), (2,4), (3,6),…, ( çiftlerini oluşturarak herhangi bir doğal sayıyı tam olarak bir çift sayıya eşleyebilirsiniz.N2N). Eşleme tam olarak çalışır. Sonunda ne doğal ne de çift sayılar kalır. Bu nedenle, her iki küme de aynı sayıda eleman içerir.
Burada önemli bir ders ortaya çıkıyor. Sonsuzluklar söz konusu olduğunda, içgüdülerinizle gitmeyin. Bu fikirler nadiren sezgiseldir.
Doğal ve çift sayıların kardinalitesi aynı olmakla kalmaz, iki kümeyi eşleme hilesi diğer örneklere de uygulanabilir. Örneğin, tüm tek sayıların kümesi, tüm tam sayıların (negatif değerler içeren), asal sayıların ve hatta (kesirleri içeren) rasyonel sayıların kümesi gibi, tüm doğal sayıların kümesiyle aynı boyuttadır. Bu kümelerin her biri için, her öğeye benzersiz bir doğal sayı {1, 2, 3,…} atayan bir eşleme vardır. Bu, en azından teorik olarak bu kümelerin öğelerini numaralandırabileceğiniz anlamına gelir (sonsuz zamanınız ve boş zamanınız varsa).
En küçük sonsuzluk adını bu gerçeğe borçludur. Doğal sayıların kardinalitesine “sayılabilir sonsuz” denir ve ℵ ile gösterilir.0 (“alef sıfır” olarak konuşulur). Bu nedenle, en büyük sayılar yarışmasına “sonsuz” yanıtını göndermek yerine, ℵ önerebilirsiniz.0.
Şimdiye kadar sunulan setlerin hepsi aynı kardinaliteye sahiptir. Ancak gerçek sayılar kalıbı bozar. Rasyonel sayılara ek olarak, 2’nin karekökü, pi veya Chaitin sabiti gibi irrasyonel değerlere de izin verirseniz, küme birdenbire o kadar büyür ki artık öğelerini sayamazsınız – liste sonsuz olsa bile. uzun.
Gerçek Sayıların Sonsuzluğu Doğal Sayıları Aşar
Cantor bu gerçeği ikinci “çapraz argümanı” ile kanıtladı. Bu çelişkili bir ispattır: sayılabilir sonsuz gerçek sayılar olduğu varsayımıyla başlarsınız ve çelişkili bu fikirden bir ifade (yani, “Sayılabilir şekilde sonsuz gerçek sayılar olamaz”).
Devam etmek için tüm gerçek sayıları dikkate almanız gerekmez. 0 ile 1 arasındaki tüm gerçek değerlerin sayılabilir olduğunu varsaymak yeterlidir (yakında bunun yanlış olduğunu göreceğiz).
Buna göre, tüm bu değerleri sonsuz uzunlukta bir liste halinde alt alta yazabilirsiniz. Örneğin:
0,32476834567854765 …
0,84737834527845745 …
0,78347864586745768 …
0,78347863763547879 …
…
Listenin nasıl sıralandığı önemli değil. Önemli olan tek şey, bu tamamlamak. Tüm değerleri gerçekten sayabiliyorsak, listemiz 0 ile 1 arasındaki her gerçek sayıyı içermelidir. Ancak Cantor, 0 ile 1 arasında listede yer almayan başka bir sayı oluşturabileceğini gösterdi.
Bunu şu şekilde yaptı: Yeni sayının ilk ondalık basamağı, listedeki ilk sayının ilk ondalık basamağı artı bire, yani yukarıdaki örnekte 4’e karşılık gelir. İkinci ondalık basamak, ikinci sayının ikinci ondalık basamağı artı bir, yani 5 hesaplanarak elde edilir. Üçüncü için, üçüncü sayının üçüncü ondalık basamağını 1 artırırsınız, vb. (9’a basarsanız, değeri 0 olarak değiştirebilirsiniz.)
Bu şekilde sonsuz sayıda ondalık basamaklı bir irrasyonel sayı elde edilecektir. öyle Olumsuz her zaman listelenen her sayıdan en az bir basamak farklı olduğu için listede görünür. Bu nedenle, orijinal varsayımla çelişen liste tam olamaz. Cantor bu nedenle “sayılamayacak kadar çok” gerçek sayı olduğu sonucuna varabilir.
Kanıtlanabilir Olarak Kanıtlanamaz Bir Varsayım
Kardinalitenin yanı sıra ℵ0 doğal sayılardan en az bir (sayılamayan) sonsuzluk daha vardır ve bu, ℵ’den daha iyi bir seçim olabilir0 en büyük sayıyı bulmak için yapılan yarışmada
Gerçek sayılar kümesi ne kadar büyük? Cantor, doğal sayılardan daha büyük, gerçek sayılardan daha küçük bir sayılar kümesinin var olup olmadığını araştırırken kendine aynı soruyu sordu. Böyle bir küme bulamayan matematikçi, 1878’de ünlü “süreklilik hipotezini” formüle etti. Önem derecesi doğal sayılarınki ile gerçek sayılarınki arasında yer alan bir küme olmadığını belirtir.
Ancak Cantor varsayımını kanıtlayamadı – ne de başka biri. Görünüşe göre, süreklilik hipotezi, temel matematiksel çerçevemizden kaçan ifadelere aittir. Kanıtlanabilir şekilde kanıtlanamazlar: varsayımı olağan matematiksel yollarla ne kanıtlayabilir ne de çürütebilirsiniz. (Kurt Gödel, 1931’de matematiğin her anlamlı formülasyonunda böyle bir eksiklik olduğunu kanıtladı.)
Başka bir deyişle, süreklilik hipotezinin doğru olduğunu varsayabilir ve asla bir çelişkiyle karşılaşmazsınız. Tersine, ancak, doğal ve gerçek sayıların kardinaliteleri arasında başka sonsuzluklar olduğunu varsayabilir ve hiçbir sorunla karşılaşmazsınız. Bu özellikle matematikçiler için tatmin edici değil. Ne de olsa gerçek sayıların büyüklüğünden bahsediyoruz – bu değerlerden kaç tanesinin var olduğunu kimse bilmiyor. Buna cevaben, bazı insanlar süreklilik hipotezini kanıtlamak veya çürütmek için bu daha geniş teoriden bir araç türetmek için konunun temel çerçevesini genişletmeye çalışıyorlar.
Uzmanlar bu çabada hiçbir şekilde birleşmiş değiller. Matematiğin temeli olan “Zermelo-Fraenkel küme teorisi”, tüm konu için bir temel oluşturan, kanıtlanmamış dokuz temel ifadeden (aksiyom denilen) oluşur. Birkaç gereksinimi karşılaması gerektiğinden, görev için uygun bir aksiyom seti bulmak için birkaç girişimde bulunuldu. Kümede mümkün olduğunca az aksiyom olmalı ve bunlar sezgisel olarak doğru olmalı ve çok karmaşık olmamalıdır. Diğer örnekler, öğeleri olmayan bir kümenin var olduğunu belirten boş küme aksiyomu ve aynı öğelere sahip iki kümenin eşit olduğunu belirten eşleştirme aksiyomudur.
Zermelo-Fraenkel küme teorisinin dokuz aksiyomu (seçim aksiyomu ile birlikte) bildiğimiz matematiği oluşturmak için yeterlidir. Ancak süreklilik hipotezi onlardan kaçıyor. Gerçek sayıların kardinalitesini daha detaylı araştırmak için mevcut küme teorisini diğer temel ifadeleri içerecek şekilde genişletmelisiniz. Örneğin, aksiyomlar grubuna “Süreklilik hipotezi doğrudur” ifadesini ekleyebilirsiniz. Ancak bu iyi bir aksiyom olmayacaktır. Diğer ifadelerden farklı olarak, bunun neden doğru olması gerektiği doğrudan açık değildir.
Bu nedenle uzmanlar, sezgisel olarak doğru olan ve süreklilik hipotezini araştırmak için kullanılabilecek başka aksiyomlar arıyorlar. Halihazırda gelecek vadeden birkaç aday var; bazıları Cantor’un varsayımını onaylarken, diğerleri çürütebilir. Varsa, küme teorisinin hangi genişletilmiş sürümünün geçerli olacağı görülecektir. Durum böyle olduğu sürece, kaç tane gerçek sayının var olduğu sorusu çözülmeden kalır.
Bu bir sır olarak kalsa bile, gerçek sayılar kümesinden çok daha büyük kardinalitelere sahip kümelerin olduğu uzun zamandır bilinmektedir – gerçi gerçek sayılar sonsuzdur. Ve en büyük sayı oyununu kazanmak istiyorsan, gidip en büyük sonsuzluğu kovalamalısın.
Bu makale ilk olarak yayınlandı Spektrum der Wissenschaft ve izin alınarak çoğaltılmıştır.
Kaynak : https://www.scientificamerican.com/article/infinity-is-not-always-equal-to-infinity/