Matematikçiler Zar Atıyor ve Taş-Kağıt-Makas Getiriyor

Makalelerinde, çevrimiçi yayınlandı Kasım 2022’nin sonlarında, kanıtın önemli bir kısmı, tek bir zarın güçlü mü yoksa zayıf mı olduğu hakkında konuşmanın çoğunlukla mantıklı olmadığını göstermeyi içeriyor. Buffett’in zarları, hiçbiri paketin en güçlüsü değil, o kadar da sıra dışı değil: Polymath projesinin gösterdiği gibi, rastgele bir zar seçerseniz, zarların diğer zarların yaklaşık yarısını atması ve diğer yarısına kaybetmesi muhtemeldir. Gowers, “Neredeyse her kalıp oldukça ortalama,” dedi.

Proje, AIM ekibinin orijinal modelinden bir açıdan ayrıldı: Bazı teknik ayrıntıları basitleştirmek için, proje bir zar üzerindeki sayıların sırasının önemli olduğunu açıkladı; bu nedenle, örneğin, 122556 ve 152562, iki farklı zar olarak kabul edilecektir. Ancak Gowers, AIM ekibinin deneysel kanıtlarıyla birleştirilen Polymath sonucunun, varsayımın orijinal modelde de doğru olduğuna dair güçlü bir varsayım oluşturduğunu söyledi.

Conrey, “Bu kanıtı buldukları için kesinlikle çok memnun oldum” dedi.

Dört veya daha fazla zarın toplanması söz konusu olduğunda, AIM ekibi üç zarınkine benzer bir davranış tahmin etmişti: Örneğin, eğer A vuruşlar B, B vuruşlar CVe C vuruşlar Do zaman kabaca 50-50 olasılık olmalıdır D vuruşlar Azardaki kenar sayısı sonsuza yaklaştıkça tam olarak 50-50’ye yaklaşır.

Varsayımı test etmek için araştırmacılar, 50, 100, 150 ve 200 kenarlı dört zardan oluşan setler için kafa kafaya turnuvaları simüle ettiler. Simülasyonlar, tahminlerine üç zar örneğindeki kadar yakından uymadı, ancak yine de varsayıma olan inançlarını destekleyecek kadar yakındı. Ancak araştırmacılar fark etmese de, bu küçük tutarsızlıklar farklı bir mesaj taşıyordu: Dört veya daha fazla zar için varsayımları yanlış.

“Gerçekten istedik [the conjecture] doğru, çünkü bu harika olurdu, ”dedi Conrey.

Dört zar durumunda, Elisabetta Cornacchia İsviçre Federal Teknoloji Enstitüsü Lozan ve Jan Hązła Ruanda, Kigali’deki Afrika Matematik Bilimleri Enstitüsü’nün kağıt 2020’nin sonlarında çevrimiçi olarak yayınlandıysa A vuruşlar B, B vuruşlar CVe C vuruşlar DDaha sonra D yenme şansı yüzde 50’den biraz daha iyi AHązła, muhtemelen yüzde 52 civarında bir yerde, dedi. (Polymath makalesinde olduğu gibi, Cornacchia ve Hązła, AIM makalesinden biraz farklı bir model kullanmışlardır.)

Cornacchia ve Hązła’nın bulgusu, kural olarak tek bir zarın ne güçlü ne de zayıf olmasına rağmen, bir çift zarın bazen ortak güç alanlarına sahip olabileceği gerçeğinden ortaya çıkıyor. Rastgele iki zar seçerseniz, Cornacchia ve Hązła’nın gösterdiği gibi, zarların birbiriyle ilişkili olma olasılığı yüksektir: Aynı zarı atmaya veya kaybetmeye eğilimlidirler. Hązła, “Sizden birbirine yakın iki zar oluşturmanızı istersem, bunun mümkün olduğu ortaya çıkıyor,” dedi. Bu küçük korelasyon cepleri, resimde en az dört zar olduğu anda turnuva sonuçlarını simetriden uzaklaştırır.

Son gazeteler hikayenin sonu değil. Cornacchia ve Hązła’nın makalesi, zarlar arasındaki korelasyonların turnuvaların simetrisini nasıl dengesizleştirdiğini tam olarak ortaya çıkarmaya başlıyor. Bu arada, artık birçok geçişsiz zar olduğunu biliyoruz – hatta belki de Bill Gates’i ilk seçimi yapması için kandıracak kadar kurnazca.

Orijinal hikaye izniyle yeniden basılmıştır Quanta Dergisi, editoryal olarak bağımsız bir yayın Simon Vakfı misyonu, matematik, fizik ve yaşam bilimlerindeki araştırma gelişmelerini ve eğilimlerini ele alarak halkın bilim anlayışını geliştirmektir.