Bunlar Evrendeki En Tuhaf Sayılar

Hayal edebileceğiniz en tuhaf gerçek sayı nedir? Muhtemelen birçok insan pi (π) veya Euler sayısı gibi irrasyonel bir sayı düşünür. Ve aslında, bu tür değerler “vahşi” olarak kabul edilebilir. Ne de olsa, ondalık gösterimleri sonsuzdur ve hiçbir basamak tekrarlanmaz. Bununla birlikte, bu tür çılgın görünen sayılar bile, tüm rasyonel sayılarla birlikte, gerçek sayıların veya bir sayı satırında görünebilen sayıların yalnızca küçük bir bölümünü oluşturur. (Bir hatırlatma olarak, bunlar zaman, sıcaklık ve mesafe dahil olmak üzere her türlü bilindik ölçümlerde kullanılabilecek sayı türleridir.)

Ancak, bir sayı doğrusunda rastgele bir sayı seçerseniz, neredeyse kesin olarak “hesaplanamayan” bir sayı çizeceğiniz ortaya çıktı. Bu tür değerler için kesin olarak belirlemenin bir yolu yoktur.

Gerçek sayılar rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur. Rasyonel sayılar (yani kesir olarak yazılabilen sayılar) ^P⁄_QNeresi P Ve Q tamsayılardır) doğal sayıları (0, 1, 2, 3,…) ve tam sayıları (…, –2, –1, 0, 1, 2,…) içerir. Sayı doğrusundaki diğer sayılar irrasyonel sayılardır. Bunlar da birçoğunu hayal bile edemeyeceğimiz farklı kategorilere ayrılabilir.

Sonsuzlukların, sonsuz küçüklerin, hayali sayıların veya diğer sıra dışı sayı boşluklarının tanımlanmasının zor olabilmesi çok şaşırtıcı gelmeyebilir. Ancak, dünyamızdaki mesafeleri tanımlayan gerçek sayıları şimdiye kadar tam olarak anlayabileceğimizi düşünürüz. Ne yazık ki, o kadar basit değil. Bunu anlamak için irrasyonel sayılara daha yakından bakmalıyız.

Hangi Sayılar İrrasyoneldir?

İki tam sayının kesri ile temsil edilemeyen tüm gerçek sayılar irrasyoneldir. (Hatırlatma: bir tam sayı bir tam sayıdır.) İrrasyonel sayılar, örneğin ondalık gösterimi sonsuz olan ve hiç tekrarlanmayan 2’nin karekökünü içerir. Aslında √2 en basit irrasyonel sayılar arasındadır çünkü inşa edilebilirdir – yani bir pergel ve cetvelle iki kenarı bir birim uzunlukta olan bir dik üçgen çizilerek oluşturulabilir. Bu üçgenin hipotenüsü √2 uzunluğundadır. Benzer bir şekilde, altın oran φ, diğer birçok irrasyonel değer gibi geometrik olarak oluşturulabilir.

Bununla birlikte, eski zamanlarda bile insanlar, artık bu kadar basit bir geometrik yolla üretilemeyen sayılarla karşılaştılar. Ünlü bir örnek, bir küpün ikiye katlanmasıdır.: Kenar uzunluğu 1 olan bir küp, hacminin iki katı olan bir kübe nasıl dönüştürülebilir? Matematikçi Pierre Wantzel’in 1837’de öğrendiği gibi, bu yeni küp için gereken kenar uzunluğu ∛2 bir pergel ve cetvel kullanılarak oluşturulamaz. Ancak ∛2, bir polinom denkleminin çözümü olarak yazılabilen cebirsel sayılara aittir. ∛2 için karşılık gelen bir denklem X³ = 2.

Bazı Sayılar Aşkındır

Bu tür denklemlerin çözümü olarak ifade edilemeyen aşkın sayılar da vardır. Yani, hesaplanabilecekleri basit bir formül yoktur. Ünlü olarak, π bu kategoriye girer. Ama bu onun değerini bilmediğimiz anlamına gelmez. Yunan matematikçi Arşimet buldu en azından yaklaşık olarak π’yi belirlemek için hesaplama kuralı. Ayrıca, çok sayıda algoritma 587 milyonuncu ondalık basamağı π’yi istediği zaman tükürür. Yeterli bilgi işlem gücü ve zamanı ile sayı, en azından teoride, keyfi bir doğrulukla belirlenebilir. Aynısı Euler sayısı için de geçerlidir (e), veya 2^√2.

Aşkın sayılar birkaç gizem barındırır. Bir sayının inşa edilebilir olup olmadığını söylemenin net yöntemleri olsa da, bir değerin aşkın olup olmadığını kanıtlamak zordur. Örneğin, 1934’te Sovyet matematikçi Alexander Gelfond ispatlamayı başardı. bileşik sayı e^π aşkındır. Ancak π değerlerinin^e veya π x e veya π – e cebirsel mi yoksa aşkın mı olduğu bugün hala belirsiz.

Hesaplanamayan Sayılar Daha da Gariptir

20. yüzyılın başlarına kadar insanlar aşkın sayıların gerçek sayıların sunduğu en çılgın şey olduğunu varsaydılar. Ama bu yanlıştı. 1937’de İngiliz matematikçi Alan Turing bir makale yayınladı. hesaplanabilir sayılar üzerinde Bu terimi, bir bilgisayarın sayısal değeri herhangi bir doğruluk derecesiyle hesaplamak için gerçekleştirebileceği bir hesaplama kuralının (yani bir algoritmanın) olduğu tüm değerleri tanımlamak için kullandı.

π gibi hemen hemen tüm bilinen aşkın sayılar ve e, bu kategoriye girer. Ne de olsa, en azından yaklaşık sayısal değerlerini ve ayrıca nasıl hesaplanabileceklerini biliyoruz. Bununla birlikte, Turing’in çalışmasında gösterdiği gibi, değerleri keyfi bir kesinlikle tahmin edilemeyen eşit derecede hesaplanamaz sayılar vardır – yani, neye benzedikleri hakkında hiçbir fikrimiz yoktur.

Daha da kötüsü: neredeyse tüm gerçek sayılar hesaplanamaz.

Farklı sayı kümelerinin sonsuz büyüklükleri düşünülürse, bu fark edilir. Matematikçi Georg Cantor 19. yüzyılın sonunda bu fikrin temellerini attı. O zamanlar, örneğin, doğal, tamsayı ve rasyonel sayılar kümesinin aynı kardinaliteye sahip olduğunu gösterebildi (bir kümenin boyutu için matematiksel bir ifade). Nasıl yani? Anlamak için, önce sonlu sayılar için aynı hesaplama kurallarının sonsuzluklar için geçerli olmadığına dikkat edilmelidir. Örneğin, doğal sayıları ve tam sayıları ele alalım: (0, 0), (1, –1), (2, 1), (3, –2), (4, 2) vb. Doğal sayıların sonu olmadığından, iki küme arasında bire bir eşleme bulduk. Bu, bir otobüs durağındaki her kişiye otobüste tam olarak bir koltuk tahsis etmek gibi ve bunun tersi de geçerlidir. Bu durumda, otobüs durağındaki insan sayısı kadar otobüste koltuk olduğunu biliyoruz. Doğal sayılar ve tamsayılar için de durum aynıdır.

Rasyonel ve doğal sayılar arasında benzer bir bire bir eşleme bulunabilir. Cantor’un gösterebildiği gibi, doğal sayıların kardinalitesi mümkün olan en küçük sonsuzluktur. Buna “sayılabilir derecede sonsuz” adını verdi.

Gerçek sayılar ise sayılamaz. Cantor kanıtlayabildi gerçek sayıların kardinalitesinin doğal olanlardan zorunlu olarak daha büyük olduğu. Bunu, bazı değerleri atlamadan bir listedeki (ne kadar uzun olursa olsun) tüm gerçek sayıları sıralamanın bir yolu olmadığını göstererek yaptı. Böylece, gerçek sayılar sayılamayan bir küme oluşturur.

Cantor’un mantığı şu şekildeydi: Varsayalım ki, tüm gerçek sayıların bir listesi var. O zaman bu listeyi bir tablo olarak tasavvur edebilirsiniz. Her satırda, her sütun ondalık basamak için bir konum sunan bir sayı vardır. Cantor, bu tablo boyunca köşegen oluşturan bir dizi sayının etrafına bir daire çizerseniz (birinci satırdaki ilk basamak, ikinci satırdaki ikinci basamak vb. gibi), 1 ekleyerek yeni bir gerçek sayı oluşturabileceğinizi gösterdi. her diyagonal girişe. Bu yeni numara listede yer alamaz. Bu nedenle, tüm gerçek sayıların orijinal listeniz eksik.

Ancak Turing’in belirttiği gibi, tüm hesaplanabilir sayılar sayılabilir olmalıdır. Bu sayıların her biri için, basitçe değerini hesaplayan bir makine geliştirilebilir. Bu hesap makinelerini numaralandırmak mümkün olduğu için, hesaplanabilir sayılar zorunlu olarak sayılabilirdir. Bu da, hesaplanamayan sayıların gerçek sayıların açık ara çoğunluğunu oluşturması sonucunu doğurur: sayılamayan bir sayı vardır!

Yani rastgele bir tane çekerseniz ne tür bir gerçek sayıyla karşılaşacağınızın olasılığını hesaplarsanız, net bir sonuç alırsınız: Vakaların yüzde 100’ünde bu sayı hesaplanamaz. Ancak bu, başka bir sayı çizemeyeceğiniz anlamına gelmez. Sonsuz sayıda olayla, sıfır olasılığı, bir sonucun imkansız olduğu anlamına gelmez.

Hesaplanamayan sayıların bu kadar bol olması, bu sayıların pek çoğunun bilinmediği göz önüne alındığında, daha da şaşırtıcıdır.

İlham Olarak Durma Problemi

Hesaplanamayan sayıların var olan birkaç örneği, bilgisayar bilimindeki ünlü durma problemi ile tanımlandı. Turing tarafından geliştirilen bu problemi düşünmek için, bir problemi çözmek için belirli bir dizi talimatı yürüten bir bilgisayar hayal edin (başka bir deyişle, bilgisayar bir algoritma kullanıyor). Durma probleminde, belirli bir algoritmayı çalıştıran bir bilgisayarın bir noktada durup durmayacağına veya sonsuza kadar devam edip etmeyeceğine karar verebilecek bir makine hayal etmeniz istenir. Turing’in kanıtladığı gibi, böyle bir makine bazı algoritmaların sonlu bir zamanda çalıştırılıp çalıştırılamayacağına karar verebilirken, bunu şu an için yapabilen hiçbir yöntem yoktur. Tümü olası program kodları Durma problemi, matematikçinin doğrudan bir uygulamasıdır. Kurt Gödel’in eksiklik teoremleribu da tüm matematiksel ifadelerin kanıtlanamayacağını belirtir.

Durma problemi, Arjantinli-Amerikalı matematikçi Gregory Chaitin tarafından hesaplanamayan bir sayıyı tanımlamak için kullanıldı. Sözde Chaitin sabiti Ω bir bilgisayarın (bir Turing makinesinin) teorik modelinin herhangi bir girdi için durma olasılığına karşılık gelir: Ω = –∑_P½^|P|Neresi P sonlu bir çalışma zamanından sonra duran tüm programları belirtir ve |P| programın uzunluğunu bit cinsinden tanımlar.

Bu nedenle, Chaitin sabitini tam olarak hesaplamak için, durma problemine göre hangi programların durup hangilerinin durmadığını, hangilerinin mümkün olmadığını bilmek gerekir. Yine de, 2000 yılında matematikçi Cristian S. Calude ve meslektaşları, Chaitin sabitinin ilk hanelerini hesaplama: 0.0157499939956247687….

Bu, Calude ve meslektaşlarının kullandığı bir dilde rastgele bir program oluşturursanız, sınırlı bir çalıştırma süresinde yaklaşık yüzde 1,58 olasılıkla tutacağı anlamına gelir. Sonuç yüksek bir doğruluğa sahip olsa bile, Chaitin sabiti gelişigüzel bir kesinlikle hesaplanamaz.

Hesaplanamayan Bir Numara ve Meşgul Bir Kunduz

Başka bir hesaplanamayan sayı, “meşgul kunduz işlevinden” veya BB(N). Bu işlev, bir algoritmanın üretebileceği olası en büyük çıktıyı (bit olarak ölçülür) hesaplar. N bit.

Örneğin, hesaplanamayan bir sayı aşağıdaki yapıdan kaynaklanır: ∑_N½^BB(N). Şimdiye kadar meşgul kunduz işlevinin yalnızca ilk dört değeri biliniyor. En az iki değer daha tahmin edilebilir.

Böylece, bu hesaplanamayan sayının ilk haneleri ∑_N½^BB(N) = 0,51562548…

Hesaplanamayan sayıları tanımlamanın başka karmaşık yöntemleri de vardır. Belki sen de bir varyasyon bulabilirsin. Yine de, bildiğimiz hesaplanabilir sayıların bolluğu göz önüne alındığında, hesaplanamayan değerlerin gerçek sayılara ve dolayısıyla dünyamıza hakim olması her zaman şaşırtıcıdır.

Bu makale ilk olarak yayınlandı Spektrum der Wissenschaft ve izin alınarak çoğaltılmıştır.